Computational Topology

Worum geht's

Du lernst Grundlagen der algebraischen Topologie mit Schwerpunkt auf Homologie und deren Berechnung sowie Konzepte der persistenten Homologie. Am Ende kannst du Homologie von Simplizialkomplexen berechnen, mit Koeffizienten arbeiten, die grundlegenden exakten Sequenzen anwenden und die wichtigsten Resultate der persistenten Homologie verstehen und skizzieren.

Was du danach kannst

• Verständnis und Anwendung elementarer Konzepte der algebraischen Topologie, besonders Homologie
• Vertrautheit mit Simplizialkomplexen und Simplizialabbildungen
• Kenntnis grundlegender Aussagen zu abelschen Gruppen
• Definitionen: simpliziale Homologie, induzierte Abbildungen, relative Homologie, Homologie mit Koeffizienten, Kohomologie
• Methoden zur Berechnung von Homologie mit ganzzahligen und feldbasierten Koeffizienten
• Verständnis der exakten Homologie-Sequenz und ihrer Anwendungen (z. B. Mayer–Vietoris, lange Sequenz einer Paarbildung)
• Grundbegriffe von Kategorien und Funktoren
• Dualität von Homologie und Kohomologie über Körpern und deren Bedeutung für persistente Homologie
• Fähigkeit, Beweisskizzen zu zentralen Ergebnissen der persistenten Homologie zu geben (z. B. Stabilität von Persistence-Barcodes, Zusammenhang zu erweiterter Persistenz bei PL-Funktionen)

Aus was das Modul besteht

• VorlesungVermittlung der theoretischen Inhalte anhand von Beispielen und Diskussion
• Übung/Practice sessionsVertiefung durch Aufgaben, wöchentliche Abwechslung zwischen Problemlösen und Präsentationen, Abgabe und Kontrolle von Übungsaufgaben

Lehrmethode

• Tafelvortrag mit Beispielenanschauliche Darstellung der Inhalte und Diskussion mit den Studierenden
• Begleitliteratur/HandzettelVorlesungsunterlagen und weiterführende Literatur zur Selbststudiumsvertiefung
• Übungsblätter und TutorienAnwendung der Methoden, Übungskontrolle und Feedback durch die Tutoren